Чи можна передбачити майбутнє так само точно, як розрахувати траєкторію планети? На початку XIX століття французький математик і астроном П’єр-Сімон Лаплас вважав, що так. Знаменитий демон Лапласа — уявний надрозум, що знає положення та швидкість кожної частинки у Всесвіті, — міг би безпомилково відтворити минуле й обчислити майбутнє1. Відтоді з’явилися математичні моделі, які допомагають прогнозувати кліматичні зміни, поширення епідемій та оцінювати ризики економічних криз, проте щоразу наштовхуються на межі власної точності. Тож чи витримала ідея Лапласа перевірку сучасною наукою? Розбираємося з експертами.
Від зірок до рівнянь: як виникла та розвивалася ідея математичного передбачення
У XVII столітті німецький астроном та математик Йоганн Кеплер сформулював закони руху планет і продемонстрував, що небесна механіка підпорядковується математичним закономірностям2. Пізніше англійський вчений Ісаак Ньютон пояснив ці закономірності за допомогою всесвітнього тяжіння та заклав основи класичної механіки3. Так успіхи фізики й астрономії зміцнили переконання, що природу можна описати універсальними законами, а складні явища пояснити через математичні розрахунки. На початку XIX століття ці уявлення досягли свого апогею в роботах Лапласа, який довів ідею передбачуваного Всесвіту до її найрадикальнішого формулювання.
Модель Сонячної системи Кеплера: орбіти планет як сфери, між якими вписані правильні геометричні тіла. Трактат Mysterium Cosmographicum, 1596. Джерело: wikimedia.org4
Проте вже наприкінці XIX століття французький математик Анрі Пуанкаре показав, що реальність значно складніша. Досліджуючи задачу трьох тіл — рух трьох об’єктів, які взаємодіють через силу тяжіння, — він виявив, що навіть системи, які підпорядковуються точним законам Ньютона, можуть поводитися напрочуд складно. А найменші зміни початкових умов здатні з часом призводити до кардинально різних результатів.
Катерина Терлецька, докторка фізико-математичних наук, науковиця, популяризаторка науки:
У XX столітті уявлення про передбачуваний світ зазнало нових випробувань. У 1920-х роках квантова механіка поставила під сумнів ідею повністю детермінованого Всесвіту, показавши, що деякі процеси можна передбачати лише ймовірнісно. А в 1960-х роках американський математик і метеоролог Едвард Лоренц продемонстрував, що навіть незначні відмінності у вихідних даних можуть суттєво впливати на результати прогнозування погоди. Так народилася відома метафора «ефекту метелика»: невелика зміна в одному місці може згодом мати великі наслідки в іншому5.
Відтоді наука дедалі менше говорить про точне передбачення і дедалі більше — про можливі сценарії та їхню ймовірність. Це добре видно на простому прикладі поїздки автомобілем. Якщо відстань від дому до роботи становить 10 кілометрів, а швидкість руху — 50 км/год, то математично дорога мала б зайняти 12 хвилин. Однак у реальному житті на час добирання впливають десятки чинників: світлофори, затори, погодні умови, поведінка інших водіїв, аварії та безліч інших обставин. Тому замість одного точного результату ми отримуємо діапазон можливих варіантів.
Парадоксально, але що більше наука досліджує світ, то помітнішою стає роль випадковості. Сучасна фізика разом із теорією хаосу та дослідженням складних систем показують: навіть розуміючи закони світу довкола та знаючи купу складних рівнянь, які з них випливають, ми ніколи не можемо абсолютно точно визначити майбутнє. І, можливо, найбільша сила математики полягає не в тому, щоб усунути невизначеність, а в тому, щоб навчити нас жити й ухвалювати рішення всередині неї.
Чи буде дощ за тиждень і що станеться з морями за сотні років: як математика прогнозує погоду і клімат
Математичне моделювання погоди й клімату — це спроба описати атмосферу, океан, лід, сушу та їхню взаємодію мовою рівнянь. Фактично вчені намагаються математично «відтворити» Землю як складну фізичну систему, що підпорядковується законам механіки, термо- та гідродинаміки. Моделі враховують рух повітряних мас, випаровування води, утворення хмар, перенесення тепла, а також вплив сонячного випромінювання та парникових газів6.
Катерина Терлецька, докторка фізико-математичних наук, науковиця, популяризаторка науки:
Для такого прогнозування планету умовно ділять на тривимірну обчислювальну сітку. Кожна її комірка має низку параметрів: температуру, тиск, вологість тощо. Суперкомп’ютери крок за кроком обчислюють, як ці величини змінюються в часі відповідно до фізичних законів, фактично мільярди разів отримуючи відповіді на одне й те саме запитання: що станеться в наступний момент?
Такі моделі спираються на великі масиви даних із метеостанцій, супутників, океанічних буїв, радарів, літаків, метеозондів та інших джерел. Сучасна система спостереження за Землею є однією з наймасштабніших наукових інфраструктур людства. Супутники щодня оцінюють температуру поверхні океану, рух хмар, концентрацію водяної пари, товщину льодового покриву й навіть деформації поверхні Землі.
Тривимірна обчислювальна сітка рельєфу, що використовується в моделях Європейського центру середньострокових прогнозів погоди (ECMWF). Джерело: HungaroMet7
Погодні та кліматичні моделі працюють по-різному. Прогнози погоди описують конкретний стан атмосфери в певний момент: наприклад, чи буде дощ у Києві за десять днів. Проте атмосфера є хаотичною системою. Це означає, що навіть крихітна похибка в початкових даних із часом починає швидко зростати (той самий «ефект метелика»). А оскільки виміряти атмосферу абсолютно точно неможливо, похибки завжди є. Саме тому надійно прогнозувати погоду можна лише приблизно на 10–14 днів уперед. Водночас окремі великомасштабні атмосферні процеси можуть передбачати й на довші терміни.
Кліматичні моделі працюють інакше. Вони не намагаються відповісти на питання, чи буде дощ у конкретний день через десятки років, а описують загальні зміни системи. Наприклад, чи стане планета теплішою, як зміняться середня температура океану, частотність екстремальних явищ або рівень моря. Ми не можемо передбачити рух кожної молекули, але маємо змогу дуже добре описати статистичну поведінку системи. Саме тому науковці впевнено говорять про глобальне потепління на десятиліття вперед, навіть якщо їм не вдається точно спрогнозувати, чи буде дощ за два тижні8.
Утім і довгострокові прогнози мають межі. Хоча багато зроблених ще в XX столітті оцінок загалом збігаються з тим, що ми маємо сьогодні, на горизонті у 200 чи 500 років невизначеність різко зростає. І пов’язана вона не тільки з природними процесами, а й із поведінкою людства — атмосферними викидами, розвитком технологій, енергетикою, політикою, економікою й війнами.
COVID-19, хантавірус і нові інфекції: як математика моделює епідемії
Появу нової епідемії надзвичайно складно передбачити. Науковці можуть оцінювати ризики виникнення небезпечних вірусів, але не здатні точно сказати, де, коли і який саме патоген стане причиною наступного спалаху. Коли ж епідемія вже почалася, у гру вступають математичні моделі. Наприклад, класична SIR-модель ділить населення на сприйнятливих до інфекції (Susceptible), інфікованих (Infectious) і тих, хто вибув із процесу поширення хвороби — одужав чи помер (Recovered). Описуючи переходи між цими групами, вона допомагає оцінити, як розвиватиметься епідемія.
Ігор Бровченко, науковець, прикладний математик, керівник робочої групи НАН України під час пандемії COVID-19:
Зручність SIR-моделі9 полягає в тому, що вона просто і компактно описує поширення інфекції. У її основі лежить перевірене на практиці припущення: що більше інфікованих людей, то більше нових заражень виникатиме. Важливим показником тут є репродуктивне число R — середня кількість людей, яких заражає одна хвора людина. Якщо R перевищує 1, кількість випадків починає швидко зростати, що відповідає початковим етапам багатьох епідемій. Водночас такі моделі не здатні точно прогнозувати перебіг епідемії в довгостроковій перспективі, адже спираються на спрощені припущення та параметри, які на початку спалаху часто залишаються невідомими й можуть із часом змінюватися.
Під час пандемії COVID-19 я був очільником робочої групи НАН України. Ми почали моделювати поширення інфекції на початку квітня 2020 року, тобто коли в Україні з’явилися перші надійні статистичні дані. Розробили розширену версію моделі, яка враховувала інкубаційний період і поділяла населення на кілька груп залежно від перебігу хвороби10, 11. Для налаштування параметрів використовували дані з країн, де епідемія почалася раніше. Відтак перейшли до короткострокових прогнозів на 2–3 тижні, оскільки довші горизонти не мали сенсу через свою ненадійність. Ми оновлювали модель з кожною появою нових даних — щотижня чи навіть щодня. Нам вдавалося досить непогано прогнозувати періоди проходження піків хвиль епідемії та кількість нових випадків і смертей.
За два роки роботи групи ми підготували понад 60 звітів — вони охоплювали оцінки реальної смертності, зміну тривалості життя, вплив супутніх хвороб та ефективність медичних втручань. Ці результати передавалися державним органам (РНБО, МОЗ) і висвітлювалися в медіа, однак зворотного зв’язку щодо їхнього впливу на управлінські рішення ми не отримували.
Схема математичної моделі поширення COVID-19, розроблена робочою групою НАН України: від зараження до одужання, госпіталізації чи смерті10
У квітні-травні 2026 року в медіа активно обговорювали поширення хантавірусу12. Такі інфекції загалом складніше піддаються математичному аналізу, ніж хвороби, що передаються від людини до людини. У зоонозних інфекціях, які поширюються через тварин (зокрема гризунів — носіїв хантавірусів), потрібно враховувати не лише контакти між людьми, а й динаміку популяцій носіїв, кліматичні умови та локальні екологічні фактори. Додаткову невизначеність створюють можливі мутації вірусу та обмеженість первинних даних під час спалаху.
Як хантавірус не став пандемією, або історія однієї зіпсованої мандрівки
Загалом математичне передбачення таких подій ще складніше, ніж, наприклад, землетрусів — одних із найскладніших для прогнозування природних явищ. Можна досліджувати зони ризику, готуватися до спалахів і розробляти засоби протидії, але момент появи мутації, здатної перейти від тварини до людини, а також умови її поширення далі залишаються здебільшого випадковими біологічними подіями. Водночас саме після виявлення нового вірусу математика стає критично важливою. Уже на перших десятках чи сотнях випадків моделі дозволяють оцінити швидкість поширення, летальність і можливі сценарії розвитку епідемії, що дає змогу ефективно реагувати.
Від кредитного скорингу до відбудови України: як математика прогнозує економічні процеси
Уряди, центральні банки та великі компанії регулярно використовують економетричне моделювання — тобто моделі, що поєднують математичні та статистичні методи, — для ухвалення рішень. Точність прогнозів залежить від складності завдання. Наприклад, ризик дефолту окремого позичальника банку відносно добре піддається оцінюванню: сучасні скорингові моделі аналізують десятки параметрів — від доходів і кредитної історії до платіжної дисципліни — і доволі точно прогнозують імовірність неповернення кредиту. Натомість передбачити крах великої фінансової установи чи всієї системи значно складніше. Тут і менше об’єктів для аналізу (десятки банків проти мільйонів позичальників), і набагато складніша система взаємозв’язків.
Максим Обрізан, доцент Київської Школи Економіки, доктор філософії Університету Айови (США, 2010):
Моделі спираються на історичні дані, однак на їхню точність впливають також поведінка споживачів та інвесторів, дії регуляторів, взаємозв’язки між фінансовими установами і раптові зовнішні шоки. Це добре ілюструють фінансові кризи: наприклад, передбачити крах фонду Long-Term Capital Management у 1998 році не змогли навіть попри використання найскладніших математичних моделей і залучення нобелівських лауреатів з економіки Майрона Шоулза і Роберта Мертона, які входили до складу ради директорів LTCM13, 14. А все тому, що далися взнаки рідкісні, але руйнівні події, які американський есеїст та математик Насім Талеб називає «чорними лебедями»15. Так, моделі ризику не врахували можливості одночасної кризи на кількох ринках (азійському 1997 року та російському 1998-го), а також високого левериджу (боргового плеча)16, 17. Схоже перед кризою 2008 року моделі суттєво недооцінювали системні ризики на ринку іпотечних облігацій.
Зростання світового ВВП у % на рік, 1961–2025. З початку 2000-х світова економіка пережила три різкі потрясіння: фінансову кризу 2008–2009 років, пандемію COVID-19 у 2020-му і сповільнення після повномасштабного вторгнення росії в Україну у 2022-му. Масштаб жодного з них економічні моделі не могли передбачити, оскільки це «чорні лебеді». Джерело: Світовий банк, ОЕСР18
Ці випадки підсвітили принципове обмеження: моделі добре працюють у стабільних умовах, але дають збій, коли змінюється сама структура системи — під час криз, війн чи технологічних зсувів. Саме на це звертав увагу американський економіст, лауреат Нобелівської премії з економіки Роберт Лукас19. У своїй концепції «критика Лукаса» він зауважує, що люди змінюють свою поведінку у відповідь на нові обставини, тому закономірності, виявлені на історичних агрегованих даних, не обов’язково збережуться в майбутньому20.
Попри це, розвиток моделювання не зупиняється: з’являються нові моделі машинного навчання, які суттєво покращують прогнози за наявності великих даних і відносно стабільного середовища. Водночас навіть такі моделі не здатні передбачити наступний твіт Трампа, який може буквально за декілька секунд обвалити або підняти ринок нафти.
Попри обмеження, вплив моделей на державну політику, бізнес і громадян є величезним. Один із прикладів — інфляційне таргетування, яке використовують світові центральні банки для узгодження монетарної політики з цільовим рівнем інфляції. Національний банк України з 2015 року встановив ціль з інфляції на рівні 5 % ± 1 в. п. та оголосив про своє прагнення досягнути її в середньостроковій перспективі21. Дослідження показують, що така політика знижує як середній рівень інфляції, так і її коливання22. Для бізнесу це означає більш передбачуване середовище інвестицій і планування, оскільки висока невизначеність інфляції ускладнює довгострокові фінансові рішення.
Одним із напрямів використання математичних моделей є повоєнне відновлення України. Такі моделі вже застосовують міжнародні організації, уряди та аналітичні центри. Однак їхня точність обмежена тим, що ключові драйвери відновлення — інституції, рівні корупції, довіри та безпеки — погано формалізуються і мають нелінійний вплив на економічну динаміку. Дослідження постконфліктних відновлень показують, що однакові обсяги міжнародної допомоги можуть давати дуже різні результати залежно від якості інституцій і політики, а економічне зростання в таких країнах значно чутливіше до цих факторів, ніж у стабільних економіках23.
Додаткову складність створює те, що Україна є відкритою системою з високою роллю зовнішніх акторів: міжнародних донорів, умов фінансування, безпекових гарантій та європейської інтеграції. У такій системі рішення одночасно ухвалюють на локальному, національному та міжнародному рівнях, що суттєво ускладнює прогнозування24. Тому найважливіше в економічних моделях — не точні передбачення, а можливість оцінювати різні сценарії: як зміниться інфляція після коригування ставки, як податкова реформа вплине на доходи населення чи які ризики накопичуються у фінансовій системі.
Між ризиками й рішеннями: навіщо нам математика
Що ж, сучасні математичні моделі не здатні безпомилково передбачити майбутнє. Вони не скажуть, коли станеться наступний землетрус, де виникне нова пандемія чи як розгортатимуться події через десять років. Проте вони допомагають оцінювати ризики, порівнювати сценарії та ухвалювати більш обґрунтовані рішення.
У світі воєн, нестабільності та посилення екологічних викликів роль математики як інструменту аналізу лише зростає. Водночас рівень математичної грамотності в Україні викликає дедалі більше занепокоєння:
- Комплексне трирівневе дослідження EdEra та Tokarev Foundation показало, що кількість учнів із високими результатами з математики зменшується, тоді як частка тих, хто не опановує навіть базові навички, зростає25.
Дані міжнародного дослідження PISA-2022 свідчать, що 42 % українських підлітків не досягають базового рівня математичної грамотності, а кількість випускників із найвищими результатами НМТ останніми роками суттєво скоротилася26. - Чому це критично? Бо математична грамотність пов’язана не лише зі здатністю розв’язувати рівняння, а й з базовими для людини вміннями — роботою з даними, оцінюванням ризиків, плануванням власного бюджету та критичним аналізом інформації. Крім цього, дослідження показують, що систематичне вивчення математики у підлітковому віці підтримує розвиток когнітивних функцій і пластичність мозку27. Тобто йдеться не про оцінки в табелі чи дипломі, а про те, наскільки людина здатна розважливо мислити й адаптуватися до змін.
Сучасна наука показала, що уявлення Лапласа були помилковими: світ не є цілком детермінованим, і нам доводиться жити в умовах невизначеності. Проте вона дала натомість дещо неймовірно цінне — інструменти, які допомагають бачити можливі наслідки наших дій і створювати краще майбутнє.
